Che cosa succede quando un semplice tratto di matita viene trasformato in un algoritmo? Succede che una linea diventa cento, poi mille. Si ripete, ruota, si riflette e costruisce un mosaico che potrebbe estendersi all’infinito senza lasciare spazi vuoti. È il principio su cui si basa Escherllate, una web app gratuita che trasforma il browser in un laboratorio di geometria computazionale. Basta disegnare all’interno di una singola tessera e il software replica automaticamente ogni tratto sulle tessere vicine secondo precise regole matematiche, generando pattern continui ispirati alle celebri tassellazioni di Maurits Cornelis Escher.

L’idea è tanto semplice quanto efficace: nascondere la matematica dietro un’esperienza visiva. Chi utilizza l’app ha l’impressione di stare semplicemente disegnando, mentre il programma esegue in tempo reale una serie di trasformazioni geometriche che garantiscono la continuità del motivo. Ogni linea viene copiata, spostata, ruotata o riflessa seguendo le simmetrie scelte dall’utente. Il risultato è una superficie che potrebbe teoricamente ricoprire un piano infinito, proprio come accade con le piastrelle di un pavimento, le celle di un alveare o molti motivi decorativi presenti nell’architettura.

La matematica che governa questo processo è quella delle isometrie del piano, le trasformazioni che conservano distanze e forme. Traslazioni, rotazioni, riflessioni e le cosiddette glide reflections – una combinazione di riflessione e traslazione molto utilizzata nei fregi ornamentali – sono gli strumenti fondamentali con cui il software costruisce le sue ripetizioni. Sono gli stessi principi studiati nella teoria dei gruppi di simmetria e utilizzati da decenni nella cristallografia, nella grafica computerizzata e nella progettazione industriale.

Uno degli aspetti più interessanti dell’app riguarda il comportamento dei bordi della tessera. Quando una linea esce da un lato del riquadro ricompare automaticamente dal lato opposto, mantenendo perfettamente la continuità del disegno. È un meccanismo familiare a chi ricorda i videogiochi degli anni Ottanta, nei quali un personaggio che usciva da un bordo dello schermo rientrava immediatamente dall’altro. In termini matematici, la superficie viene trattata come uno spazio periodico: i lati opposti coincidono e ogni elemento trova automaticamente il proprio proseguimento. È questo accorgimento che rende possibile costruire tassellazioni prive di interruzioni.

MathGamesAndWeirdThings è una nuova rubrica dove si parla appunto di matematica, giochi e cose strane. Sempre con i dati e a volte con le neuroscienze

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