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Matematica, il mistero dei numeri primi nell’epoca dei Big data

Se state leggendo questo articolo, molto probabilmente dovreste essere appassionati di numeri o quantomeno averne una certa familiarità.
A differenza del solito, in questa occasione non ci si servirà dei numeri per rappresentare un fenomeno, bensì si proverà ad approfondire un ambito piuttosto affascinante della materia, vale a dire i numeri primi.
Se i numeri sono gli elementi base di tutta la matematica, i primi sono di fatto gli ingredienti per creare qualsiasi altro numero visto che ogni cifra può essere ottenuta moltiplicando numeri primi e, da definizione, un numero primo è un numero naturale strettamente maggiore di uno che sia divisibile solo per sé stesso o per uno.
I primi studi relativi a questi numeri risalgono ai tempi dell’Antica Grecia quando Euclide diede un grande contributo alla materia dimostrando che i numeri primi sono infiniti.
Per farlo si chiese se esistesse un numero finito di numeri primi che moltiplicati tra loro potesse produrre tutti gli altri numeri e come primo tentativo prese in esame il due, il tre e il cinque.
Dalla loro moltiplicazione si ottiene trenta, e il colpo di genio di Euclide fu quello di sommarvi uno in modo da ottenere il trentuno, numero non divisibile né per due, né per tre né per cinque, rendendolo a sua volta primo.
Anche aggiungendo il trentuno alla lista dei numeri primi, Euclide poteva ripetere lo stesso trucco dell’aggiunta di un’unità all’infinito e per quanti numeri ci fossero sulla lista, poteva dimostrare che ce n’erano sempre dei mancanti, a dimostrazione della loro infinità.
Anche a dispetto di questa prima grande intuizione, Euclide non fu in grado di prevedere con quale frequenza questi numeri si disponessero e, ad oggi, il modo in cui si presentano resta uno dei misteri più enigmatici di tutta la matematica.
Nell’infografica sono rappresentati i primi mille numeri primi colorati in modo da farli risaltare all’interno dell’insieme che li contiene fino al numero 7919 e che li ordina dall’alto a sinistra (1) fino in basso a destra (7919).
In aggiunta viene fornita sia il loro conteggio ad intervalli di centinaia (1-80) sia la loro distribuzione in funzione della loro ultima cifra alla quale è stato assegnato un colore che li contraddistingue anche nel grafico principale.

Osservandone la disposizione risulta impossibile trovare una frequenza o un pattern con il quale appaiano tra tutti gli altri numeri: a volte sono separati per poche unità, mentre in altri casi ci sono “buchi” molto più vasti come ad esempio nella parte finale del grafico tra 6491 e 6521.

Inoltre, benchè possa essere facile pensare che la maggior parte dei numeri primi si concentri principalmente all’inizio della sequenza, fatta eccezione per il primo centinaio che contiene venticinque primi ed il secondo che ne conta ventuno, proseguendo con la divisione a blocchi di cento è possibile notare come la distribuzione sia piuttosto aleatoria senza presentare alcun tipo di andamento regolare.
Tenendo a mente che l’ultimo centinaio (80) non è completo visto che l’ultimo numero è il 7919, ci sono comunque diversi casi di blocchi successivi che presentano una differenza significativa come ad esempio tra il cinquantanovesimo ed il sessantesimo nei quali si registrano rispettivamente sedici e sette occorrenze.
Quando poi si passa ad esaminare l’ultima cifra che compone i primi mille numeri primi, ci si accorge che analogamente non esiste uno schema distributivo.
Comprensibilmente il due e il cinque compaiono solo una volta a testa perché sono esclusi dalla lista tutti i numeri pari – ad eccezione del due stesso – e tutti i multipli del cinque che finiscono appunto per cinque se sono dispari, visto che quelli che terminano per zero sono già esclusi in quanto pari.
Per lo stesso motivo non si trova traccia di quattro, sei e otto, mentre tra le uniche cifre rimaste si riscontra un sostanziale equilibrio senza però alcun cenno di simmetria, spaziando dalle 254 occorrenze del sette fino ad arrivare alle 245 dell’uno, il meno gettonato per l’insieme considerato, intervallati dal tre (253) e dal nove (246).
Contributi Storici
Nel corso degli anni sono stati molteplici gli studiosi che si sono cimentati nel campo dei numeri primi, con nomi illustri quali Fermat ed Eulero, ma un vero punto di svolta nell’approccio alla tematica si è presentato grazie a Carl Friedrich Gauss sul finire del diciottesimo secolo.
Grande appassionato di numeri primi, specialmente grazie una raccolta di tavole matematiche ricevute come regalo per il suo quindicesimo compleanno, Gauss capì che era impossibile prevedere quando sarebbe apparso un numero primo, pertanto come spesso accade per i grandi pensatori, cercò di pensare in modo più creativo e spostò la sua attenzione su un altro punto di vista.
La domanda che si pose non era più quali fossero i numeri primi, bensì quanti fossero.
Se Euclide aveva dimostrato che erano infiniti, Gauss – che a quanto si dice fosse in grado di scomporre in fattori primi mille numeri nell’arco di quindici minuti – cominciò a quantificare quanti ce ne fossero in determinati intervalli.
Notando che all’aumentare del conteggio, i numeri primi diventavano sempre più rari, Gauss si chiese se ci fosse un sistema per predire in che modo diminuissero visto che apparentemente non pareva esserci alcuna parvenza di regolarità.
Per farlo, il matematico (ma anche astronomo e fisico) tedesco fece ricorso alla probabilità e scoprì che la probabilità di incontrare un numero primo diminuiva in maniera regolare in funzione della grandezza dell’intervallo considerato.
Il testimone virtuale lasciato da Gauss venne raccolto da Bernhard Riemann, altro matematico tedesco formatosi anch’egli a Gottinga, considerata all’epoca la capitale europea della matematica.
La sua più grande scoperta fu la cosiddetta funzione Zeta dalla quale è ottenibile un grafico con il quale Riemann comprese che era possibile affinare le teorie di Gauss grazie al posizionamento degli “zeri” (non banali, a parte reale immaginaria positiva), vale a dire i punti in cui la funzione presentava valori pari a zero.
Grazie a questa intuizione, se Gauss aveva raggiunto una stima approssimativa della quantità dei numeri primi, Riemann fu in grado di correggerla in modo che si potesse ottenere il numero corretto dei numeri primi man mano che si procede nel conteggio.
Benchè straordinaria come intuizione, la scoperta non venne mai dimostrata, venendo denominata pertanto “ipotesi di Riemann”, ed è a tutt’oggi uno dei problemi aperti della matematica per i quali c’è in palio un milione di dollari destinato a chi riuscirà a risolverlo.

Natura e applicazioni nella vita quotidiana
Curiosamente, per quanto enigmatici possano essere, in natura ci sono diversi esempi di quanto fantastici possano essere i numeri primi.
Su tutti, il più famoso è il caso di due specie di cicale del Nord America, le Magicicada, che per tredici o diciassette anni (rispettivamente denominate tredecim e septendecim) vivono sottoterra in forma di ninfa nutrendosi dei fluidi delle radici, emergendo poi in superficie per sei settimane durante le quali si accoppiano con l’obiettivo di procreare la nuova generazione, salvaguardandola dagli attacchi periodici dei predatori naturali.
Il fascino di questi due cicli vitali è ancora maggiore se si pensa che, essendo due numeri primi, il tredici ed il diciassette garantiscono alle due specie la sicurezza di dover condividere lo stesso habitat solo una volta ogni 201 anni (13×17 = 201), abbassando così drasticamente la possibilità di una competizione eccessiva per il territorio.
Sempre in tema di sicurezza, ma in questo caso digitale, l’utilizzo dei numeri primi è la base fondante delle transazioni operate con carta di credito.
Il sistema per occultare il numero delle carte di credito è basato sulla combinazione di due numeri molto grandi – uno dei quali è appunto il prodotto di due numeri primi a loro volta composti da molte cifre (svariate decine) – e con cui si procede alla cifratura.
Benchè questo numero sia pubblico (la cosiddetta chiave pubblica), essendo composto anche dalla moltiplicazione di due numeri primi, un’eventuale decifratura implicherebbe la necessità da parte di un hacker di doverli individuare, cosa che diventerebbe un problema intrattabile proprio per via della grandezza con la quale sono stati scelti i numeri primi.

Ultimi commenti
  • Francesco Di Noto |

    Vorremmo ricordare però che qualsiasi proposta di dimostrazione dell’ipotesi di Riemann e relativa funzione zeta , non è di nessun aiuto teorico o pratico per tentativi di fattorizzazione veloce; per esempio per violare la crittografia RSA, per il semplice motivo che il recente nostro lavoro https://www.academia.edu/68518721/DIMOSTRAZIONE_DELL_IPOTESI_RH1_EQUIVALENTE_RH_Con_nuovi_grafici_e_nuovi_calcoli_ ) riguarda grandi numeri fattoriali e primoriali, con tantissimi fattori primi, mentre i numeri RSA hanno, essendo semi primi, solo due fattori primi, composti da centinaia di cifre e notoriamente difficili da fattorizzare. E nemmeno la funzione zeta di Riemann serve allo scopo, poichè essa riguarda la sola distribuzione dei numeri primi singoli e non anche dei semi primi). I migliori matematici lo sanno benissimo, ma quelli meno bravi pensano vanamente a questa (im)possibilità, e anche informatici aspiranti hacker un pò digiuni di teoria dei numeri; mi augurano che non perdano più tempo in questa direzione che non porta da nessuna parte… Grazie per l’attenzione, Francesco

  • Giovanni di Savino |

    Gauss grazie ad una intuizione e con una strategia ha mostrato che uno stesso numero dispari, 101, è la somma dei numeri pari con i numeri dispari contenuti nel numero 100. La strategia inventata da Gauss è indicativa per soddisfare la congettura di Goldbach.
    I numeri contenuti nel numero “100 di Gauss” sono 50 numeri pari e 50 numeri dispari. Sovrapponendo su due righe ed in ordine inverso i 50 numeri pari si formano coppie di solo numeri pari la cui somma è uguale al numero pari 100 (0+100, 2+98,….,50+50,…..,98+2, 100+0); sovrap ponendo su due righe ed in ordine inverso i 50 numeri dispari si formano coppie di solo numeri dispari la cui somma è uguale al numero pari 100 (1+99, 3+97,… ,49+51, 51+49,….,97+3, 99+1); i due numeri di ogni coppia, sono equidistanti dalla metà di 100. L’intuizione di Gauss “sovapporre su due righe ed in ordine inverso i numeri contenuti in uno degli infiniti numeri pari”, ci permette di ottenere che qualunque numero pari è il risultato di due numeri come enunciato nella versione forte della congettura di Goldbach.
    La congettura di Goldbach(2a) è uno dei problemi irrisolti della teoria dei numeri ed a noi è nota in due versioni. Nel 1742 Goldbach(2) ha affermato che gli infiniti numeri naturali dispari, maggiori di 5, sono la somma di 3 numeri primi, la congettura così formulata è nota come la versione debole o ternaria della congettura di Goldbach e, il matematico non avendola dimostrata, la inviò al suo amico Eulero(3) perchè la dimostrasse. Eulero(3), consapevole di non poter verificare gli infiniti numeri primi, la riformulò in: tutti i numeri pari maggiori di 2 sono la somma di due numeri primi; la congettura così formulata è nota come la versione forte o binaria della congettura di Goldbach .
    La versione forte della congettura, quella che si riferisce agli infiniti numeri pari maggiori di 2 che sono il risultato della somma di due primi, è stata verificata dal prof. Tomás Oliveira e Silva(5) che ha confermato che i numeri pari minori od uguali a 4×10^18 sono effettivamente il risultato della somma di due numeri primi ma possiamo affermare, anche, che non essendoci un numero primo più grande di tutti, la quantità considerevole di 4.000.000.000.000.000.000 numeri pari verificati o qualunque quantità di numeri pari verificati è da ritenersi un primato che sarà superato dal numero pari che è solo il doppio del nuovo e più grande numero primo che non era noto ma che Euclide ed altri matematici, hanno dimostrato che esiste.
    Gauss con l’invenzione delle coppie, ci permette di affermare che qualunque numero pari è il risultato della somma di due numeri dispari contenuti nel numero pari ma, in merito al numero pari somma di numeri primi dispari ci permette di affermare solo che i numeri pari che sono il doppio di ogni numero primo sono la somma di due primi. Non conoscendo, quanti sono i numeri primi, che valore hanno e la distanza che separa numeri primi successivi, non possiamo affermare che in tutti i numeri pari ci siano numeri primi minori e numeri primi maggiori e numeri primi uguali alla metà del numero pari. Chi distingue e conferma l’esistenza di numeri primi minori e numeri primi maggiori della metà del numero pari è Joseph Bertrand (11) che nel 1845 congetturò che tra un numero ed il suo doppio, tra n e 2n,   c’è sempre un numero primo. Nel 1850 Chebyshev (10) dimostrò la congettura che è nota come Postulato di Bertrand e tra le coppie che Gauss ottiene dai numeri contenuti in un numero pari ce ne sarà senz’altro una composta dai due numeri primi del Postulato di Bertrandt.
    https://vixra.org/abs/2202.0145

  • Giovanni Di Savino |

    La congettura di Collatz afferma che per qualsiasi scelta del numero di partenza ≥1 , moltiplicando *3+1 il dispari e dimezzando il pari, l’algoritmo terminerà perchè i numeri che si generano sono unici e non potrà verificarsi mai un ciclo infinito; ogni numero ≥2 raggiungerà sempre ed in ogni caso 1.

    Con l’algoritmo di Collatz non è possibile elaborare tutti i numeri naturali perché non ci è noto: quantità e valori dei numeri pari e dei numeri dispari e tutti i loro fattori. Dal triangolo di Tartaglia possiamo rilevare numeri dispari che sono la sommatoria dei risultati delle infinite potenze del 2 che hanno indice pari e che sono, anche, uguali al dispari precedente *4+1. Questi sono tutti i numeri dispari che *3+1 generano un numero pari che è il risultato di una potenza base 2 ed indice pari 2^(2*n≥1) e che, l’n.sima metà, termina ad 1 perchè ½ di 2^1 = 2^0 = 1.

    I numeri naturali sono infiniti ed il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica oTeorema di Fattorizzazione afferma e dimostra che ogni numero ≥2, è il risultato del prodotto di numeri primi, 2^n≥0 * 3^n≥0 *……* n.simo primo noto ^n≥0. Con l’algoritmo di Collatz tutti i numeri terminano ad 1 solo se si dimezza il numero 2 che è il numero pari più piccolo dell’ennesimo e più grande pari che è generato da una potenza 2^n≥1. Infiniti numeri dispari, *3+1, soddisfano la congettura perchè il numero pari che si ottiene è il risultato di una potenza 2^(2*n≥1) e, tutti questi numeri dispari, sono noti

    https://vixra.org/abs/2112.0004

  • Giovanni Di Savino |

    Negli Elementi, in particolare nei libri vii, viii, ix dedicati alla teoria dei numeri, Euclide definisce un numero primo come un numero che è misurato soltanto dall’unità e poi passa a dimostrare per assurdo che i numeri primi sono infiniti. Se infatti fossero in numero finito, per esempio p1, p2, …, pn, il numero 1 + p1p2 … pn porterebbe a una contraddizione: non può essere primo (perché maggiore di tutti i primi) e neanche può essere divisibile per p1 oppure per p2 … oppure per pn perché ciascuna di queste divisioni dà 1 come resto. Due numeri primi vengono detti gemelli quando differiscono di 2. Sono per esempio primi gemelli 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31. La congettura che li riguarda afferma che esistono infiniti numeri primi gemelli ovvero che esistono infiniti numeri primi p tali che anche p + 2 è un numero primo. Anche in questo caso una dimostrazione generale della congettura manca. Gli studi sui numeri primi gemelli sono numerosi e sono giunti anche a postulare una certa loro distribuzione (congettura di Hardy-Littlewood), ma al momento non si va oltre il teorema che ha provato che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 o è primo o è prodotto di due numeri primi.

    Rappresentazione e simulazione del come e perché i numeri primi ed i primi gemelli sono infiniti: https://www.reddit.com/r/mathematics/comments/qg72ly/why_not_representation_and_simulation_of_how_and/

  • Giovanni Di Savino |

    La congettura di Collatz è definita come un pantano od un labirinto da cui è meglio starsene alla larga. Sono entrato, ne sono uscito e posso entrare ed uscirne qualunque sia il numero di partenza. L’unico modo per uscire dal “pantano o labirinto” era noto che bisognava trovare la via per arrivare ad 1. Arrivano ad 1 tutti i numeri pari che sono il risultato di una potenza del 2, dalla metà della potenza più piccola 2esp1 alle metà dalla più grande e minori generabili. Il numero pari è: o una scelta del numero di partenza e, se è il risultato di 2espn, si arriva ad 1 dopo tante divisioni per 2 uguale al valore dell’esponente della potenza del 2, oppure è il risultato di un numero dispari moltiplicato 3 e sommato 1. Esiste il numero dispari che moltiplicandolo moltiplicato 3 e sommato 1 si ottiene un risultato uguale al risultato di una potenza del 2 con esponente pari minore o uguale 2 . I numeri primi sono infiniti e sono generati dai primi noti, i numeri dispari che moltiplicato 3 e sommato 1 generano le potenze “per uscire dal pantano” sono infiniti e sono la somma dei risultati delle potenze pari maggiore o uguale 0 note o il numero binario dispari con cifre binarie che sono i risultati delle potenze pari maggiore o uguale 0. il lavoro: https://www.facebook.com/photo/?fbid=3082230978764734&set=pcb.3082231195431379

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