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Matematica, il mistero dei numeri primi nell’epoca dei Big data

Se state leggendo questo articolo, molto probabilmente dovreste essere appassionati di numeri o quantomeno averne una certa familiarità.
A differenza del solito, in questa occasione non ci si servirà dei numeri per rappresentare un fenomeno, bensì si proverà ad approfondire un ambito piuttosto affascinante della materia, vale a dire i numeri primi.
Se i numeri sono gli elementi base di tutta la matematica, i primi sono di fatto gli ingredienti per creare qualsiasi altro numero visto che ogni cifra può essere ottenuta moltiplicando numeri primi e, da definizione, un numero primo è un numero naturale strettamente maggiore di uno che sia divisibile solo per sé stesso o per uno.
I primi studi relativi a questi numeri risalgono ai tempi dell’Antica Grecia quando Euclide diede un grande contributo alla materia dimostrando che i numeri primi sono infiniti.
Per farlo si chiese se esistesse un numero finito di numeri primi che moltiplicati tra loro potesse produrre tutti gli altri numeri e come primo tentativo prese in esame il due, il tre e il cinque.
Dalla loro moltiplicazione si ottiene trenta, e il colpo di genio di Euclide fu quello di sommarvi uno in modo da ottenere il trentuno, numero non divisibile né per due, né per tre né per cinque, rendendolo a sua volta primo.
Anche aggiungendo il trentuno alla lista dei numeri primi, Euclide poteva ripetere lo stesso trucco dell’aggiunta di un’unità all’infinito e per quanti numeri ci fossero sulla lista, poteva dimostrare che ce n’erano sempre dei mancanti, a dimostrazione della loro infinità.
Anche a dispetto di questa prima grande intuizione, Euclide non fu in grado di prevedere con quale frequenza questi numeri si disponessero e, ad oggi, il modo in cui si presentano resta uno dei misteri più enigmatici di tutta la matematica.
Nell’infografica sono rappresentati i primi mille numeri primi colorati in modo da farli risaltare all’interno dell’insieme che li contiene fino al numero 7919 e che li ordina dall’alto a sinistra (1) fino in basso a destra (7919).
In aggiunta viene fornita sia il loro conteggio ad intervalli di centinaia (1-80) sia la loro distribuzione in funzione della loro ultima cifra alla quale è stato assegnato un colore che li contraddistingue anche nel grafico principale.

Osservandone la disposizione risulta impossibile trovare una frequenza o un pattern con il quale appaiano tra tutti gli altri numeri: a volte sono separati per poche unità, mentre in altri casi ci sono “buchi” molto più vasti come ad esempio nella parte finale del grafico tra 6491 e 6521.

Inoltre, benchè possa essere facile pensare che la maggior parte dei numeri primi si concentri principalmente all’inizio della sequenza, fatta eccezione per il primo centinaio che contiene venticinque primi ed il secondo che ne conta ventuno, proseguendo con la divisione a blocchi di cento è possibile notare come la distribuzione sia piuttosto aleatoria senza presentare alcun tipo di andamento regolare.
Tenendo a mente che l’ultimo centinaio (80) non è completo visto che l’ultimo numero è il 7919, ci sono comunque diversi casi di blocchi successivi che presentano una differenza significativa come ad esempio tra il cinquantanovesimo ed il sessantesimo nei quali si registrano rispettivamente sedici e sette occorrenze.
Quando poi si passa ad esaminare l’ultima cifra che compone i primi mille numeri primi, ci si accorge che analogamente non esiste uno schema distributivo.
Comprensibilmente il due e il cinque compaiono solo una volta a testa perché sono esclusi dalla lista tutti i numeri pari – ad eccezione del due stesso – e tutti i multipli del cinque che finiscono appunto per cinque se sono dispari, visto che quelli che terminano per zero sono già esclusi in quanto pari.
Per lo stesso motivo non si trova traccia di quattro, sei e otto, mentre tra le uniche cifre rimaste si riscontra un sostanziale equilibrio senza però alcun cenno di simmetria, spaziando dalle 254 occorrenze del sette fino ad arrivare alle 245 dell’uno, il meno gettonato per l’insieme considerato, intervallati dal tre (253) e dal nove (246).
Contributi Storici
Nel corso degli anni sono stati molteplici gli studiosi che si sono cimentati nel campo dei numeri primi, con nomi illustri quali Fermat ed Eulero, ma un vero punto di svolta nell’approccio alla tematica si è presentato grazie a Carl Friedrich Gauss sul finire del diciottesimo secolo.
Grande appassionato di numeri primi, specialmente grazie una raccolta di tavole matematiche ricevute come regalo per il suo quindicesimo compleanno, Gauss capì che era impossibile prevedere quando sarebbe apparso un numero primo, pertanto come spesso accade per i grandi pensatori, cercò di pensare in modo più creativo e spostò la sua attenzione su un altro punto di vista.
La domanda che si pose non era più quali fossero i numeri primi, bensì quanti fossero.
Se Euclide aveva dimostrato che erano infiniti, Gauss – che a quanto si dice fosse in grado di scomporre in fattori primi mille numeri nell’arco di quindici minuti – cominciò a quantificare quanti ce ne fossero in determinati intervalli.
Notando che all’aumentare del conteggio, i numeri primi diventavano sempre più rari, Gauss si chiese se ci fosse un sistema per predire in che modo diminuissero visto che apparentemente non pareva esserci alcuna parvenza di regolarità.
Per farlo, il matematico (ma anche astronomo e fisico) tedesco fece ricorso alla probabilità e scoprì che la probabilità di incontrare un numero primo diminuiva in maniera regolare in funzione della grandezza dell’intervallo considerato.
Il testimone virtuale lasciato da Gauss venne raccolto da Bernhard Riemann, altro matematico tedesco formatosi anch’egli a Gottinga, considerata all’epoca la capitale europea della matematica.
La sua più grande scoperta fu la cosiddetta funzione Zeta dalla quale è ottenibile un grafico con il quale Riemann comprese che era possibile affinare le teorie di Gauss grazie al posizionamento degli “zeri” (non banali, a parte reale immaginaria positiva), vale a dire i punti in cui la funzione presentava valori pari a zero.
Grazie a questa intuizione, se Gauss aveva raggiunto una stima approssimativa della quantità dei numeri primi, Riemann fu in grado di correggerla in modo che si potesse ottenere il numero corretto dei numeri primi man mano che si procede nel conteggio.
Benchè straordinaria come intuizione, la scoperta non venne mai dimostrata, venendo denominata pertanto “ipotesi di Riemann”, ed è a tutt’oggi uno dei problemi aperti della matematica per i quali c’è in palio un milione di dollari destinato a chi riuscirà a risolverlo.

Natura e applicazioni nella vita quotidiana
Curiosamente, per quanto enigmatici possano essere, in natura ci sono diversi esempi di quanto fantastici possano essere i numeri primi.
Su tutti, il più famoso è il caso di due specie di cicale del Nord America, le Magicicada, che per tredici o diciassette anni (rispettivamente denominate tredecim e septendecim) vivono sottoterra in forma di ninfa nutrendosi dei fluidi delle radici, emergendo poi in superficie per sei settimane durante le quali si accoppiano con l’obiettivo di procreare la nuova generazione, salvaguardandola dagli attacchi periodici dei predatori naturali.
Il fascino di questi due cicli vitali è ancora maggiore se si pensa che, essendo due numeri primi, il tredici ed il diciassette garantiscono alle due specie la sicurezza di dover condividere lo stesso habitat solo una volta ogni 201 anni (13×17 = 201), abbassando così drasticamente la possibilità di una competizione eccessiva per il territorio.
Sempre in tema di sicurezza, ma in questo caso digitale, l’utilizzo dei numeri primi è la base fondante delle transazioni operate con carta di credito.
Il sistema per occultare il numero delle carte di credito è basato sulla combinazione di due numeri molto grandi – uno dei quali è appunto il prodotto di due numeri primi a loro volta composti da molte cifre (svariate decine) – e con cui si procede alla cifratura.
Benchè questo numero sia pubblico (la cosiddetta chiave pubblica), essendo composto anche dalla moltiplicazione di due numeri primi, un’eventuale decifratura implicherebbe la necessità da parte di un hacker di doverli individuare, cosa che diventerebbe un problema intrattabile proprio per via della grandezza con la quale sono stati scelti i numeri primi.

Ultimi commenti
  • Giovanni di Savino |

    La congettura dei primi Gemelli di Euclide, le congetture di Goldbach, la debole o ternaria e la forte o binaria, sono la rappresentazione della generazione degli infiniti numeri primi dimostrata e formulata da Euclide con 2*n+1. Rappresentazione https://www.facebook.com/InfoDataBLOG/posts/3559222640797969

  • Giovanni di Savino |

    ……….3*3=9 (numero dispari per numero dispari = numero dispari)
    la stessa cosa é 3+(3*2)=9, ed è esattamente quello che farò per avere sempre il prodotto della moltiplicazione su un numero dispari
    3+(3*2)=9
    9+(3*2)=15
    15+(3*2)=21
    21+(3+2)=27
    27+(3*2)=33 ……
    detto da Claudio

    ma è lo sviluppo della proprietà invariantiva della sottrazione che in un numero dato trova i primi individuando i multipli del primo trovato e che è il numero che non è risultato multiplo. Il primo più grande che la proprietà citata può trovare è il numero primo più grande contenuto nella radice quadra del numero dato. Einstein con E=mc^2 ci ha dimostrato l’impossibilità di utilizzare la pur famosissima ipotesi di Riemann per calcolare la quantità di primi contenuti in un numero dato grande e fattorizzazione di qualsiasi numero composto e non ma anche l’impossibilità di farlo con qualsiasi altra ipotesi o algoritmo e con qualsiasi tecnologia; però se consideriamo che Euclide ed altri hanno dimostrato che esiste un numero primo più grande del più grande noto ho l’arroganza di affermare che la proprietà invariantiva della sottrazione può trovare il primo più grande del primo più grande noto e la sua formulazione può quantizzare i multipli contenuti in un numero dato che possono essere identificati con il valore di cicale per ogni numero primo e simili alle tredicem o septedicem o anche con spirali di Archimede . Credimi è un mondo bellissimo.

  • claudio |

    Sono d’accordo con Giovanni di Savino sul fatto che nella distribuzione dei numeri primi non ci sia nulla di misterioso o caotico, ma mi sento di dissentire su questa affermazione ” Gli infiniti numeri primi sono il risultato di una operazione matematica “2*n+1” formulata e dimostrata nel 300 a.C. da Euclide”
    L’infinità dei numeri primi, a differenza dell’infinità dei numeri naturali come 1+1+1+1….., non potrà mai essere verificata perchè tutte le congetture su questi numeri primi infiniti hanno il limite di essere poi verificate.
    Permettetemi di dire che le formule, le congetture, gli schemi a triangolo, a chiocciola, quadratici, etc…
    sono solo fuorvianti rispetto a una logica molto più semplice che ne spiega il comportamento.
    Prendete un qualsiasi numero pari che formi l’inizio di una decina…. tipo 8370 e sommate a questo numero un UNO o un TRE o un SETTE o un NOVE e avrete le stesse probabilità di questo “2*n+1 ” di trovare un numero primo con la formula
    10*2^2943987 (+1) ( +3) (+7 ) ( +9)
    Alla fine parliamo solo di questi quattro numeri, 1,3,7,9. Qualsiasi numero di qualsiasi grandezza che finisce
    con uno di questi numeri potrebbe essere un numero primo.

    Il punto è proprio potrebbe sessere.
    Perchè un numero qualsiasi di qualsiasi grandezza che finisca con uno di questi quattro numeri potrebbe o non potrebbe essere primo?

    La spiegazione è molto semplice e ve la faccio vedere con dei numeri piccoli, per capirci, ma che viene applicata su qualsiasi numero dispari

    Per avere un prodotto dispari di una moltiplicazione devo moltiplicare due numeri dispari…
    Di questo mi piacerebbe approfondire, anche perchè penso che il numero 2 e il numero 5 non siano effettivamente dei numeri primi, se non fosse perchè rientrano nella definizione dei numeri primi in quanto
    possono essere divisi solo per se stessi e per uno, si potrebbe notare che la loro condizione è dettata da una forza maggiore. Tra l’altro, secondo lo schema che vi mostrerò neanche il numero 3 rientrerebbe nei numeri primi. Questo però è un altro discorso.

    prendiamo il numero 3, ma non come numero primo ma come il primo numero dispari che si può moltiplicare ed avere un prodotto diverso da se stesso o dal numero che vado a moltiplicare.
    Per chiarire meglio, 1 sarebbe il primo numero dispari ma se moltiplico per uno avrò come prodotto sempre
    un numero uguale a se stesso o al numero che andrò a moltiplicare.
    3*3=9 (numero dispari per numero dispari = numero dispari)
    la stessa cosa é 3+(3*2)=9, ed è esattamento quello che farò per avere sempre il prodotto della moltiplicazione su un numero dispari

    3+(3*2)=9
    9+(3*2)=15
    15+(3*2)=21
    21+(3+2)=27
    27+(3*2)=33
    Bene, a questo punto in ciclo si ripete all’infinito. In realtà il ciclo inizia con il 3 e finisce con il 27.
    per questo avremo nella prima decina e cioè da 0 a 9 un 3 e un 9 come cifre finali
    nella seconda decina da 10 a 19 un 5
    nella terza decina da 20 a 29 un 1 e un 7
    se noi proseguissimo per questa linea e lo faremo in un modo più spedito, prendendo per esempio la decina che va dal 20 al 29, aggiungendo 30, cioè il numero dispari di base moltiplicato per 10, avremo che nella decina che va dal 50 al 59 il numero 51 e 57 saranno divisibili per 3 e perciò esclusi dall’essere primi.
    Facendo altrettanto con la decina che va dal 30 al 39, avremo che dal 60 al 69 i numeri 63 e 69 saranno divisibili per 3 ed esclusi dai numeri primi.
    Ora se io facessi 20+30*2^100000 mi uscirebbe che il prodotto di questo numero più 1 o più 7 non potrebbero essere primi perchè sarebbero divisibili per 3.
    A questo punto però potrei pensare che il numero 3 e 9 di quella decina potrebbero essere primi perchè non divisibili per 3, e questo è il punto focale della questione numeri primi infiniti

    Come avrete notato il numero 3 si alterna nelle decine con 1-7 , 5 , 3-9, quando cade sul cinque come nel caso
    della decina da 10 a 19, i numeri 1-7 e 3-9 rimangono liberi e danno origine ai famosi numeri primi.
    Ma perchè questo? Perchè il numero dispari che viene dopo il 3 è il 5, e comè ho cercato di spiegare sopra, il 5 è un numero dispari anomalo in quanto oltre non essere un vero numero primo, cade sempre sulla decina o su se stesso. Dopo il cinque viene il 7 e se noi facciamo 7+(7*2)=21. Come vedete salta a piedi pari la decina che va dal 10 al 19 e si posiziona dentro la decina che va dal 20 al 29 sovrapponendosi al 3 sul numero 21.

    La domanda che ci dovremmo porre é, se io so che in questo numero 20+30*2^100000 l’1 e il 7 non possono essere primi come posso sapere se il 3 e il 9 potrebbero essere o non essere primi utilizando lo stesso schema del numero dispari 3 sugli altri numeri dispari?

    Il calcolo sicuramente complesso ma non impossibile mi dice comunque che se si raggiungesse un sistema di rotazione perfetta dei numeri e cioè numeri dispari che con la loro rotazione si compensano l’uno con l’altro formando una barriera da ricoprire l’intero universo dei numeri che finiscono con 1,3,7,9, potremmo avere la fine dei numeri primi .

  • Giovanni di Savino |

    Con la proprietà invariantiva della sottrazione i numeri primi con le cicale o le spirali di Archimede.

    Peano 1858_1932 con il 2° dei suoi 5 assiomi afferma che i numeri naturali sono infiniti (di seguito∞) perchè esiste il numero successivo di ogni numero; Euclide 300 a.C. dimostra che i numeri primi sono ∞, accenna alla fattorizzazione dimostrata da Gauss 2000 anni dopo con il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, per cui a noi è noto che uno degli ∞ numeri naturali (di seguito n) è: il prodotto di numeri primi ed è o un numero primo oppure un numero composto ed i numeri precedenti sono primi e composti. Prima che potessimo disporre del computer, la prima tecnica usata per cercare i numeri primi in un numero dato è stata quella ideata da Eratostene che, con il crivello, pensò di setacciare i numeri multipli da un elenco di numeri riportato su un supporto disponibile nelle varie ere che vanno da prima del 300 a.C. a pochi anni fa.

    Con numeri che possono essere sempre più grandi si è riscontrata l’impossibilità di elencarli su grandi supporti fisici. Con il computer generiamo e memorizziamo gli elenchi su memoria elettronica ma rimane la necessità di estrapolare i numeri primi contenuti in un numero seppure elencato e memorizzato in un computer. Per farlo si ha la necessità di disporre di un software, una funzione od algoritmo che, come il crivello accennato, ci faccia quantizzare quanti sono i numeri primi contenuti in un numero. L’ipotesi di Riemann, da dimostrare, ipotizza che può fornirci il risultato di quanti sono i primi contenuti in un numero dato.

    Con il dovuto rispetto per la matematica e matematici, sono a porre l’attenzione su un algoritmo, che ho formularizzato e che ci permette di trovare i multipli (di seguito Pnm) di qualunque numero primo (di seguito Pn) è: la Proprietà Invariantiva della Sottrazione.

    faccio un esempio anche numerico: i multipli del numero primo 3 nel numero 120 sono 19
    Pnm = ((n-Pn) – resto((n-Pn) / (2*Pn))) / (2*Pn)
    19 = (117 – 3) / 6

    I numeri, sia il numero dato che i precedenti, sono o primi o composti; i composti sono multipli dei Pn ≤ alla radice quadra di n tra cui ci sono multipli della combinatoria dei Pn ≤ alla radice quadra il cui risultato del prodotto è ≤ ad un terzo di n dato.

    La somma totale dei multipli di ogni Pn ≤ alla radice quadra è maggiore dei composti contenuti in un numero dato perché tra i multipli di ogni Pn ci sono multipli conteggiati anche da altri Pn e sono i multipli della combinatoria con ripetizione dei Pn ≤ alla radice quadra il cui prodotto della combinatoria è ≤ ad un terzo di n dato.

    Numeri multipli conteggiati più volte:
    il numero intero della radice quadra di n 120 in esempio è 10 ed il Pn più grande contenuto nel 10 è 7

    i primi ≤ al 7 sono ③ infatti sono: Pn1=3, Pn2=5 e Pn3= 7
    nel 120 come in ogni n dato ci sono i multipli di
    Pn1, di Pn2,di Pn3 …..Pnn.esimo ≤ rad quadra n dato ma ci sono multipli
    che sono stati conteggiati dai Pn della combinatoria
    i multipli di 3n≥1 * 5n≥1 ≤ 40 (⅓ 120)
    i multipli di 3n≥1 * 7n≥1 ≤ 40 (⅓ 120)
    i multipli di 5n≥1 * 7n≥1 ≤ 40 (⅓ 120)
    i multipli di 3n≥1 * 5n≥1* 7n≥1 ≤ 40 (⅓ 120)
    i multipli della combinatoria dei Pn con ripetizione dei Pn ≤ alla radice quadra il cui prodotto della combinatoria è ≤ ad un terzo di n dato si possono conteggiare :

    ((n-(Pn1*Pn2)) – resto((n-n1*Pn2)) / (2*Pn1*Pn2))) / (2*Pn1*Pn2)
    ……….combinatoria dei Pn ≤ ad un terzo di n dato
    ((n-(Pn1*..Pnn.simo))-resto((n-n1*..Pnn.simo))/ (2*Pn1*..Pnn.simo)))/(2*Pn1*Pnn.simo)

    Il calcolo dei multipli Pn1….Pnpiù grande e dei multipli della combinatoria di Pn contenuti nella radice quadra del numero dato può essere anche il conteggio di cicale che, identificandosi con numeri primi ≤ alla radice quadra del numero dato, si collocano sul rispettivo numero multiplo del primo che identificano. Come le cicale tredicem e septedicem tante ed anche ∞ cicale che hanno cicli di vita pari ai numeri primi ≤ alla radice quadra del numero dato. I numeri primi sono quei numeri su cui non c’è alcuna cicala, i multipli in un numero dato sono i numeri su cui insistono da 1 a n cicale il cui prodotto è ≤ ad un terzo di n dato. Con la proprietà invariantiva, usata dalle cicale e non solo, sappiamo cosa cercare.

    La matematica tende a conoscere “ciò che sempre è e non ciò che nasce e perisce” (Platone)

    La ciclicità dei numeri primi la si può verificare anche con spirali di Archimede che con passo uguale ai numeri primi ≤ alla radice quadra del numero dato, coincidono con l’asse dei numeri naturali ed identificano in successione il multiplo del rispettivo primo. I numeri dove non si posa alcuna cicala, i numeri che non sono toccati da alcuna spirale sono i numeri primi che sono divisibili da 1 e da sè stesso .

  • Giovanni di Savino |

    Sembra che il numero primo più piccolo non interessi più di tanto ma:

    1 è da considerare primo quando e perché:

    dalla congettura dei primi gemelli di Euclide dove i due più piccoli primi gemelli distanti 2
    ed equidistanti dalla metà della loro somma sono 1 + 3

    il numero 2 è un numero pari = somma di 2 numeri primi 1 primo + 1 primo

    gli infiniti numeri primi + 1 primo = numeri pari > 2 richiamati nella congettura di Goldbach forte e binaria formulata da Eulero;

    gli Infiniti numeri pari + 1 primo = infiniti dispari richiamati nella congettura di Goldbach versione debole o binaria e sono la somma di un numero pari + 1 = congettura Goldbach forte, numero pari + 1 primo e dispari.

    Euclide genera gli infiniti primi con la produttoria dei numeri primi noti: 1*2*n+1
    0*0+1=1
    1*1+1=2
    1*2+1=3
    1*2*2+1=5
    1*2*3+1=7
    .
    .
    .
    1 * 2 unico pari * produttoria infiniti primi dispari noti + 1 = “n”

    in “n”, risultato che si ottiene con la formula di Euclide, ci sono numeri primi nuovi e più grandi dei primi che generano il numero “n” che è il risultato della produttoria dei primi noti.

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